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逆三角関数と複素対数

By: eishin26 -   2021/11/29    14:05:54    648

未分類 | 積分 逆三角関数 複素対数


\begin{aligned}
\int \frac{1}{1+x^{2}} d x &=\int \frac{1}{(x+i)(x-i)} d x \\
&=-\frac{1}{2 i} \int\left(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\right) d x \\
&=-\frac{1}{2 i} \log \left(\frac{x+i}{x-i}\right)+ C
\end{aligned}

$$
\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan x+C
$$

よって

$$
-\frac{1}{2 i} \log \left(\frac{x+i}{x-i}\right)+ C =\arctan x+ C
$$

ってありだったりしますか?


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$\newcommand{\i}{\mathrm{i}}$


\begin{align}
-\frac{1}{2\i}\ln\left(
\frac{x+\i}{x-\i}
\right)
=&
\Im\ln(x-\i)\\
=&
\Im\ln\left[
\sqrt{x^2+1}
\left(
\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-
\frac{\i}{\sqrt{x^2+1}}
\right)
\right]\\
=&
\Im\ln\left[
\sqrt{x^2+1}
e^{-i\arctan(1/x)}
\right]\\
=&
-\arctan(1/x)\\
=&
\begin{cases}
\arctan x-\pi/2&\text{for}~x>0\\
\arctan x+\pi/2&\text{for}~x<0
\end{cases}
\end{align}


ありだと思います

 2021/11/29   23:26:51

出来るんですね。ありがとうございます。
1個目の等式の右式の自然対数前に置かれる記号はなんですか?
 2021/11/30   20:19:51

$\newcommand{\i}{\mathrm{i}}$
複素数$z$の虚部をとる記号です。$\Im(z)=(z-z^*)/2\i$
\Imと入力すれば出ます。
 2021/11/30   22:08:02


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